Question

等差数列{a_n}中首项为a₁，公差为d，前n项和为S_n，给出下列四个命题：
①数列{（

1

2

） an}为等比数列；
②若a₂+a₁₂=2，则S₁₃=13；
③S_n=na_n-

n(n-1)

2

d；
④若d＞0，则S_n一定有最大值．
其中正确命题的序号是

①②③

．

Answer 1

分析：①根据等比数列的定义证明．②利用等差数列的性质证明．③根据等差数列的前n项和公式推导证明．④利用等差数列前n项和的性质判断．

解答：解：①

( 1 2 )an

( 1 2 )an-1

=(

1

2

)an-an-1=(

1

2

)d为常数，所以数列{（

1

2

） an}为等比数列；正确．
②在等差数列中，a₂+a₁₂=a₁+a₁₃=2，所以S₁₃=

(a1+a13)

2

×13=

2

2

×13=13，所以正确．
③在等差数列中，以a_n为首项，此时数列的公差为-d，S_n=na_n+

n(n-1)(-d)

2

=na_n-

n(n-1)

2

d；所以正确．
④若d＞0，则等差数列为递增数列，此时S_n没有有最大值．所以④错误．
故答案为：①②③

点评：本题主要考查等差数列的应用，要求熟练掌握等差数列的通项公式和性质，考查学生的运算能力．