Question

7．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足2S_n=3a_n-3，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}的通项公式为b_n=$\frac{1}{{{{log}_3}{a_{3n-1}}{{log}_3}{a_{3n+2}}}}$，求数列{b_n}的前项和T_n．

Answer 1

分析 （1）求出数列的首项，利用递推关系式求出数列是等比数列，然后求解通项公式即可．
（2）利用裂项法，求解数列{b_n}的前项和T_n．

解答 （本题满分12分）
解：（1）依题意，当n=1时，2S₁=2a₁=3a₁-3，故a₁=3．当n≥2时，2S_n=3a_n-3，2S_n-1=3a_n-1-3，两式相减整理得a_n=3a_n-1，
故${a_n}={3^n}$…（6分）
（2）${b_n}=\frac{1}{{{{log}_3}{a_{3n-1}}{{log}_3}{a_{3n+2}}}}$=$\frac{1}{（3n-1）（3n+2）}=\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}）$．
故${T_n}=\frac{1}{3}（\frac{1}{2}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{8}+…+\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}）$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{2}-\frac{1}{3n+2}）=\frac{n}{2（3n+2）}$…（12分）

点评 本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，掌握熟练求和的方法是解题的关键．