Question

17．下面有五个命题：
①函数y=sin⁴x-cos⁴x的最小正周期是π；
②终边在y轴上的角的集合是{α|α=$\frac{kπ}{2}$，k∈Z}；
③函数f（x）=|sin（x+$\frac{π}{3}$）|（x∈R），在区间[$\frac{2π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]上是增函数；
④若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为1．
其中真命题的序号是①③．

Answer 1

分析 利用平方差公式和倍角公式化简函数解析式，并求出周期，可判断①；写出终边在y轴上的角的集合，可判断②；分析函数在区间[$\frac{2π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]上的单调性，可判断③；求出|MN|的表达式，进而求出|MN|的最大值，可判断④．

解答 解：函数y=sin⁴x-cos⁴x=（sin²x+cos²x）（sin²x-cos²x）=sin²x-cos²x=-cos2x，故函数的最小正周期是π，故①为真命题；
终边在y轴上的角的集合是{α|α=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z}，故②为假命题；
当x∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]时，x+$\frac{π}{3}$∈[π，$\frac{3π}{2}$]，此时sin（x+$\frac{π}{3}$）＜0，故函数f（x）=|sin（x+$\frac{π}{3}$）|=-sin（x+$\frac{π}{3}$），
由y=sin（x+$\frac{π}{3}$）在[$\frac{2π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]为减函数，可得函数f（x）=在[$\frac{2π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]为增函数，故③为真命题；
若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图象分别交于M，N两点，则|MN|=|sinx-cosx|=|$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）|，其最大值为$\sqrt{2}$，故④为假命题；
故真命题的序号是：①③，
故答案为：①③．

点评 本题以命题的真假判断为载体，考查了三角函数的化简，求值，周期，单调性，最值等知识点，是三角函数的综合应用，难度中档．