Question

【题目】已知椭圆C的两个顶点分别为A（﹣2，0），B（2，0），焦点在x轴上，离心率为 ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E．求证：△BDE与△BDN的面积之比为4：5．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程： （a＞b＞0），
则a=2，e= = ，则c= ，
b2=a2﹣c2=1，
∴椭圆C的方程 ；
（Ⅱ）证明：设D（x0 ， 0），（﹣2＜x0＜2），M（x0 ， y0），N（x0 ， ﹣y0），y0＞0，
由M，N在椭圆上，则 ，则x02=4﹣4y02 ，
则直线AM的斜率kAM= = ，直线DE的斜率kDE=﹣ ，
直线DE的方程：y=﹣ （x﹣x0），
直线BN的斜率kBN= ，直线BN的方程y= （x﹣2），
，解得： ，
过E做EH⊥x轴，△BHE∽△BDN，
则丨EH丨= ，
则 = ，
∴：△BDE与△BDN的面积之比为4：5．

【解析】（Ⅰ）由题意设椭圆方程，由a=2，根据椭圆的离心率公式，即可求得c，则b2=a2﹣c2=1，即可求得椭圆的方程；
（Ⅱ）由题意分别求得DE和BN的斜率及方程，联立即可求得E点坐标，根据三角形的相似关系，即可求得 = ，因此可得△BDE与△BDN的面积之比为4：5．
【考点精析】利用点斜式方程和椭圆的标准方程对题目进行判断即可得到答案，需要熟知直线的点斜式方程：直线经过点，且斜率为则：；椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．