Question

21、已知函数y=f（x）的定义域为R，对任意x、x′∈R均有f（x+x′）=f（x）+f（x′），且对任意x＞0，都有f（x）＜0，f（3）=-3．
（1）试证明：函数y=f（x）是R上的单调减函数；
（2）试证明：函数y=f（x）是奇函数；
（3）试求函数y=f（x）在[m，n]（m、n∈Z，且mn＜0）上的值域．

Answer 1

分析：（1）可根据函数单调性的定义进行论证，考虑证明过程中如何利用题设条件．
（2）可根据函数奇偶性的定义进行证明，应由条件先得到f（0）=0后，再利用条件f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）中x₁、x₂的任意性，可使结论得证．
（3）由（1）的结论可知f（m）、f（n）分别是函数y=f（x）在[m、n]上的最大值与最小值，故求出f（m）与f（n）就可得所求值域．

解答：（1）证明：任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，f（x₂）=f[x₁+（x₂-x₁）]，
于是由题设条件f（x+x′）=f（x）+f（x′）可知f（x₂）=f（x₁）+f（x₂-x₁）．
∵x₂＞x₁，∴x₂-x₁＞0．∴f（x₂-x₁）＜0．
∴f（x₂）=f（x₁）+f（x₂-x₁）＜f（x₁）．
故函数y=f（x）是单调减函数．
（2）证明：∵对任意x、x′∈R均有f（x+x′）=f（x）+f（x′），
∴若令x=x′=0，则f（0）=f（0）+f（0）．
∴f（0）=0．
再令x′=-x，则可得f（0）=f（x）+f（-x）．
∵f（0）=0，∴f（-x）=-f（x）．故y=f（x）是奇函数．
（3）解：由函数y=f（x）是R上的单调减函数，
∴y=f（x）在[m，n]上也为单调减函数．
∴y=f（x）在[m，n]上的最大值为f（m），最小值为f（n）．
∴f（n）=f[1+（n-1）]=f（1）+f（n-1）=2f（1）+f（n-2）═nf（1）．
同理，f（m）=mf（1）．
∵f（3）=-3，∴f（3）=3f（1）=-3．
∴f（1）=-1．∴f（m）=-m，f（n）=-n．
因此，函数y=f（x）在[m，n]上的值域为[-n，-m]．

点评：（1）满足题设条件f（x+x′）=f（x）+f（x′）的函数，只要其定义域是关于原点对称的，它就为奇函数．
（2）若将题设条件中的x＞0，均有f（x）＜0改成均有f（x）＞0，则函数f（x）就是R上的单调增函数．
（3）若题设条件中的m、n∈Z去掉，则我们就无法求出f（m）与f（n）的值，故m、n∈Z不可少．