Question

11．在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位，沿y轴正方向平移5个单位，得到直线l₁．再将直线l₁沿x轴正方向平移1个单位，沿y轴负方向平移2个单位，又与直线l重合．若直线l与直线l₁关于点（2，3）对称，则直线l的方程是6x-8y+1=0．

Answer 1

分析 利用直线的平移变换、直线的对称性即可得出．

解答 解：设直线l的方程为：y=kx+b，将直线l沿x轴正方向平移3个单位，沿y轴正方向平移5个单位，得到直线l₁：y=k（x-3）+5+b，化为y=kx+b+5-3k，
再将直线l₁沿x轴正方向平移1个单位，沿y轴负方向平移2个单位，y=k（x-3-1）+b+5-2，化为y=kx+3-4k+b．
又与直线l重合．
∴b=3-4k+b，解得k=$\frac{3}{4}$．
∴直线l的方程为：y=$\frac{3}{4}$x+b，直线l₁为：y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{11}{4}$+b，
设直线l上的一点P（m，b+$\frac{3m}{4}$），则点P关于点（2，3）的对称点P′（4-m，6-b-$\frac{3}{4}$m），
∴6-b-$\frac{3}{4}$m=$\frac{3}{4}$（4-m）+b+$\frac{11}{4}$，解得b=$\frac{1}{8}$．
∴直线l的方程是y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{1}{8}$，化为：6x-8y+1=0．
故答案为：6x-8y+1=0．

点评 本题考查了垂直平分线的性质、直线的平移变换、直线的对称性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．