Question

已知：函数，x∈R．
（Ⅰ）求证：函数f（x）的图象关于点中心对称，并求f（-2007）+f（-2006）+…+f（0）+f（1）+…+f（2009）的值．
（Ⅱ）设g（x）=f′（x），a_n+1=g（a_n），n∈N^₊，且1＜a₁＜2，求证：
（ⅰ）请用数学归纳法证明：当n≥2时，；
（ⅱ）．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设P（1-x₁，y₁）是函数f（x）的图象上的任一点，则P关于点的对称点是Q（1+x₁，），证明Q也在函数f（x）的图象上，即可得到结论；根据f（1+x₁）+f（1-x₁）=，f（1）=，利用倒序相加法，即可求得结论；
（Ⅱ）g（x）=f′（x）=-．（ⅰ）先证明当n=2时，命题成立，再利用g（x）在[1，+∞）上单调递减，证明n=k+1时，命题成立，即可得到结论；
（ⅱ）先证明＜，再利用等比数列的求和公式，即可得到结论．
解答：（Ⅰ）证明：设P（1-x₁，y₁）是函数f（x）的图象上的任一点，则P关于点的对称点是Q（1+x₁，）
∵f（1+x₁）+f（1-x₁）=[]+[]=
∴f（1+x₁）=-f（1-x₁）=-y₁，
∴Q也在函数f（x）的图象上
∴函数f（x）的图象关于点中心对称；
∵f（1+x₁）+f（1-x₁）=，f（1）=
∴f（-2007）+f（-2006）+…+f（0）+f（1）+…+f（2009）+f（2009）+f（2008）+…+f（2）+f（1）+…+f（-2007）=
∴f（-2007）+f（-2006）+…+f（0）+f（1）+…+f（2009）=5356；
（Ⅱ）证明：g（x）=f′（x）=-．
（ⅰ）（1）当n=2时，a₂=g（a₁）=-
∵1＜a₁＜2，∴1＜a₂＜，∴命题成立
（2）假设n=k（k≥2）时，1＜a_k＜，则a_k+1=g（a_k）=-
∵g（x）在[1，+∞）上单调递减，∴1-g（2）＜g（）＜a_k+1＜g（1）=
∴n=k+1时，命题成立
由（1）（2）可知，当n≥2时，；
（ⅱ）=
∵，∴＜1
∴＜
∴＜＜…＜＜
∴＜1++…=2-＜2
∴．
点评：本题考查函数图象的对称性，考查数学归纳法，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．