Question

6．已知函数f（x）=$\frac{lnx+k}{ex}$（k为常数，e为自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1）） 处的切线与x轴平行．
（1）求k的值，并求f （x）的单调区间；
（2）设g（x）=xf′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数，证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e^-2．

Answer 1

分析 （1）求出函数的f′（x），通过在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．得到f′（1）=0，求出k，通过f′（x）=$\frac{1}{xex}$（1-x-xln x），x∈（0，+∞），构造h（x）=1-x-xln x，x∈（0，+∞），推出f（x）的单调递增区间，单调递减区间．
（2）求出g（x）=$\frac{1}{ex}$（1-x-xln x），x∈（0，+∞），利用h（x）=1-x-xln x，求导得h′（x），求出函数的最值，得到g（x）=$\frac{1}{ex}$•h（x）＜1+e^-2，即可证明g（x）＜1+e^-2．

解答 解：（1）由f（x）=$\frac{lnx+k}{ex}$，x∈（0，+∞），得f′（x）=$\frac{1-kx-xlnx}{xex}$，x∈（0，+∞）．
由于曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．所以f′（1）=0，因此k=1．…（2分）
得f′（x）=$\frac{1}{xex}$（1-x-xln x），x∈（0，+∞），
令h（x）=1-x-xln x，x∈（0，+∞），
当x∈（0，1）时，h（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h（x）＜0．
又e^x＞0，所以x∈（0，1）时，f′（x）＞0；x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0．
因此f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）．…（6分）
（2）因为g（x）=xf′（x），所以g（x）=$\frac{1}{ex}$（1-x-xln x），x∈（0，+∞），
由（1）得，h（x）=1-x-xln x，求导得h′（x）=-ln x-2=-（ln x-ln e^-2）．
所以当x∈（0，e^-2）时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；
当x∈（e^-2，+∞）时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减．…（9分）
所以当x∈（0，+∞）时，h（x）≤h（e^-2）=1+e^-2．
又当x∈（0，+∞）时，0＜$\frac{1}{ex}$＜1，
所以当x∈（0，+∞）时，g（x）=$\frac{1}{ex}$•h（x）＜1+e^-2，即g（x）＜1+e^-2．…（12分）

点评 本题考查函数的导数的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，函数的最值以及构造法的应用，考查分析问题解决问题的能力．