Question

选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线l过点P(2，

3

)且倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cos(θ-

π

3

)，直线l与曲线C相交于A，B两点；
（1）若|AB|≥

13

，求直线l的倾斜角α的取值范围；
（2）求弦AB最短时直线l的参数方程．

Answer 1

分析：（1）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，把极坐标方程化为直角坐标方程，圆的圆心C（1，

3

），半径等于 2，再利用利用弦长公式求得圆心到直线的距离 d取值范围，从而得到直线l的倾斜角α的取值范围．
（2）当弦AB最短时，直线l过点P且与CP连线垂直，又利用直线l经过点P(2，

3

)，且倾斜角α，写出直线的参数方程．

解答：解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=4cos(θ-

π

3

)，即方程ρ²=2ρcosθ+2

3

ρsinθ，
化成直角坐标方程为：x²+y²=2x+2

3

y．
即（x-1）²+（y-

3

）²=4．
圆的圆心为C（1，

3

），半径等于 2，
直线l过点P(2，

3

)且倾斜角为α，直线的普通方程为：y-

3

=tanα（x-2），
即tanα•x-y+

3

-2tanα=0，
圆心到直线的距离：
d=

|tanα•1- 3 + 3 -2tanα|

tan2α+1

，
∵|AB|≥

13

，∴d≤

22-( 13 2 )2

=

3

2

，
即

|tanα•1- 3 + 3 -2tanα|

tan2α+1

≤

3

2

，
解得，-

3

≤tanα≤

3

．
∴

π

3

≤α≤

2π

3

直线l的倾斜角α的取值范围[

π

3

，

2π

3

]；
（2）当弦AB最短时，直线l过点P且与CP连线垂直，
又直线CP的斜率为0，
∴当弦AB最短时，直线l的斜率不存在，即直线l垂直于x轴，
∴直线l的参数方程为

x=2 y=t

（t为参数）．

点评：本题考查了直线的参数方程、简单曲线的极坐标方程和直线与圆的位置关系等知识点，属于中档题．