Question

【题目】已知圆C的圆心在直线x﹣2y=0上．
（1）若圆C与y轴的正半轴相切，且该圆截x轴所得弦的长为2 ，求圆C的标准方程；
（2）在（1）的条件下，直线l：y=﹣2x+b与圆C交于两点A，B，若以AB为直径的圆过坐标原点O，求实数b的值；
（3）已知点N（0，3），圆C的半径为3，且圆心C在第一象限，若圆C上存在点M，使MN=2MO（O为坐标原点），求圆心C的纵坐标的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为圆C的圆心在直线x﹣2y=0上，所以可设圆心为（2a，a）．

因为圆C与y轴的正半轴相切，所以a＞0，半径r=2a．

又因为该圆截x轴所得弦的长为2 ，

所以a2+（ ）2=（2a）2，解得a=1．

因此，圆心为（2，1），半径r=2．

所以圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=4

（2）解：由 消去y，得（x﹣2）2+（﹣2x+b﹣1）2=4．

整理得5x2﹣4bx+（b﹣1）2=0．（★）

由△=（﹣4b）2﹣4×5（b﹣1）2＞0，得b2﹣10b+5＜0（※）

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2= ，x1x2=

因为以AB为直径的圆过原点O，可知OA，OB的斜率都存在，

且kOAkOB= =﹣1

整理得x1x2+y1y2=0，即x1x2+（﹣2x1+b）（﹣2x2+b）=0．

化简得5x1x2﹣2b（x1+x2）+b2=0，即（b﹣1）2﹣2b +b2=0．

整理得2b2﹣10b+5=0．解得b= ．

当b= 时，2b2﹣10b+5=0，b2﹣10b+5=﹣b2．③

由③，得b≠0　从而b2﹣10b+5=﹣b2＜0

可见，b= 时满足不等式（※）．b= 均符合要求

（3）解：圆C的半径为3，设圆C的圆心为（2a，a），由题意，a＞0．

则圆C的方程为（x﹣2a）2+（y﹣a）2=9．

又因为MN=2MD，N（0，3），设M点的坐标为（x，y），

则 = ，整理得x2+（y+1）2=4．

它表示以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，记为圆D．

由题意可知，点M既在圆C上又在圆D上，即圆C和圆D有公共点．

所以|3﹣2|≤ ，且a＞0．

即1 ，且a＞0．

所以 即

解得0＜a≤2．

所以圆心C的纵坐标的取值范围是（0，2]

【解析】（1）设圆心为（2a，a），通过圆C与y轴的正半轴相切，得到半径r=2a．利用该圆截x轴所得弦的长为2 ，列出方程求解即可．（2）由 ，设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），利用韦达定理以及判别式，结合直线的斜率关系，即可求出b的值．（3）设圆C的圆心为（2a，a），圆C的方程为（x﹣2a）2+（y﹣a）2=9，设M点的坐标为（x，y），利用|3﹣2|≤ ，且a＞0，求出圆心C的纵坐标的取值范围是（0，2]．