Question

已知函数f（x）=e^x+2x²-3x．
（Ⅰ）求证函数f（x）在区间[0，1]上存在唯一的极值点，并用二分法求函数取得极值时相应x的近似值（误差不超过0.2）；（参考数据e≈2.7，

e

≈1.6，e^0.3≈1.3）
（Ⅱ）当x≥

1

2

时，若关于x的不等式f(x)≥

5

2

x2+(a-3)x+1恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求函数的导数，求导数在0和1处的值，乘积小于0即可
（Ⅱ）利用分参法把a分离出来，构造函数，求函数的导数，判断函数的单调性，求a的取值范围

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=e^x+4x-3，（1分）
令h（x）=f'（x）=e^x+4x-3，则h′（x）=e^x+4＞0，（2分）
∴f′（x）在区间[0，1]上单调递增，
∵f′（0）=e⁰-3=-2＜0，f'（1）=e+1＞0，
∴f′（0）•f′（1）＜0．（3分）
又∵f′（x）在区间[0，1]上是单调函数
∴f′（x）在区间[0，1]上存在唯一零点，
∴f（x）在区间[0，1]上存在唯一的极小值点．（4分）
取区间[0，1]作为起始区间，用二分法逐次计算如下：
①f'（0.5）≈0.6＞0，而f'（0）=-2＜0，
∴f'（0.5）×f'（0）＜0）
∴极值点所在区间是[0，0.5]；
②又f'（0.3）≈-0.5＜0，
∴f'（0.3）×f'（0.5）＜0，
∴极值点所在区间是[0.3，0.5]；
③∵|0.5-0.3|=0.2，
∴区间[0.3，0.5]内任意一点即为所求．
∴x=0.4（7分）
（Ⅱ）由f(x)≥

5

2

x2+(a-3)x+1，得ex+2x2-3x≥

5

2

x2+(a-3)x+1，
即ax≤ex-

1

2

x2-1，
∵x≥

1

2

，∴a≤

ex- 1 2 x2-1

x

，（8分）
令g(x)=

ex- 1 2 x2-1

x

，则g′(x)=

ex(x-1)- 1 2 x2+1

x2

．（10分）
令φ(x)=ex(x-1)-

1

2

x2+1，则φ'（x）=x（e^x-1）．
∵x≥

1

2

，∴φ′（x）＞0，∴φ（x）在[

1

2

，+∞)上单调递增，
∴φ(x)≥φ(

1

2

)=

7

8

-

1

2

e

＞0，
因此g′（x）＞0，故g（x）在[

1

2

，+∞)上单调递增，（12分）
则g(x)≥g(

1

2

)=

e 1 2 - 1 8 -1

1 2

=2

e

-

9

4

，
∴a的取值范围是a≤2

e

-

9

4

．（14分）

点评：该题考查函数的求导，判断函数的单调性，会使用二分法和分参法的方法求出a的取值范围．注意极值点的取值区间．