【题目】某校为了解开展校园安全教育系列活动的成效,对全校学生进行了一次安全意识测试,根据测试成绩评定“合格”“不合格”两个等级,同时对相应等级进行量化:“合格”记5分,“不合格”记0分.现随机抽取部分学生的答卷,统计结果及对应的频率分布直方图如图所示:
等级 | 不合格 | 合格 | ||
得分 | [20,40) | [40,60) | [60,80) | [80,100] |
频数 | 6 | a | 24 | b |
(1)求a,b,c的值;
(2)先用分层抽样的方法从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取10人进行座谈,再从这10人中任选4人,记所选4人的量化总分为ξ,求ξ的分布列及数学期望E(ξ);
(3)某评估机构以指标(,其中表示的方差)来评估该校开展安全教育活动的成效.若≥0.7,则认定教育活动是有效的;否则认定教育活动无效,应调整安全教育方案.在(2)的条件下,判断该校是否应调整安全教育方案.
【答案】(1) .
(2)分布列见解析,.
(3) 认定教育活动是有效的;在(2)的条件下,判断该校不用调整安全教育方案.
【解析】试题分析:(I)利用频率分布直方图的性质即可得出;(II)从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取10人进行座谈,其中“不合格”的学生数=10=4,则“合格”的学生数=6.由题意可得ξ=0,5,10,15,20.利用“超几何分布列”的计算公式即可得出概率,进而得出分布列与数学期望;(III)利用Dξ计算公式即可得出,可得M=即可得出结论.
解析:
(1)由频率分布直方图,可知成绩在[20,40)内的频率为0.005×20=0.1,
故抽取的学生答卷数为=60,
由频率分布直方图可知,得分在[80,100]内的频率为0.01×20=0.2,
所以b=60×0.2=12.
又6+a+24+12=60,
所以a=18,所以c==0.015.
(2)“不合格”与“合格”的人数之比为24∶36=2∶3,
因此抽取的10人中“不合格”的学生有4人,“合格”的学生有6人,
所以ξ的所有可能取值为20,15,10,5,0.
所以P(ξ=20)==,P(ξ=15)==,
P(ξ=10)==,P(ξ=5)==,
P(ξ=0)==.
所以ξ的分布列为:
ξ | 20 | 15 | 10 | 5 | 0 |
P |
E(ξ)=20×+15×+10×+5×+0×=12.
(3)由(2)可得
D(ξ)=(20-12)2×+(15-12)2×+(10-12)2×+(5-12)2×+(0-12)2×=16,
所以M===0.75>0.7,
故我们认为该校的安全教育活动是有效的,不需要调整安全教育方案.
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【题目】某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:[20,30),[30,40),┄,[80,90],并整理得到如下频率分布直方图:
(Ⅰ)从总体的400名学生中随机抽取一人,估计其分数小于70的概率;
(Ⅱ)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数;
(Ⅲ)已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.
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【题目】已知分别是椭圆的左、右焦点,离心率为, 分别是椭圆的上、下顶点, .
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线与椭圆交于相异两点,且满足直线的斜率之积为,证明:直线恒过定点,并采定点的坐标.
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【题目】如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=1,BC=,点M在棱CC1上,且MD1⊥MA,则当△MAD1的面积最小时,棱CC1的长为( )
A. B. C. 2 D.
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【题目】对于定义在区间D上的函数f(x),若存在闭区间[a,b]D和常数c,使得对任意x1∈[a,b],都有f(x1)=c,且对任意x2∈D,当x2[a,b]时,f(x2)<c恒成立,则称函数f(x)为区间D上的“平顶型”函数.给出下列结论:
①“平顶型”函数在定义域内有最大值;
②函数f(x)=x-|x-2|为R上的“平顶型”函数;
③函数f(x)=sin x-|sin x|为R上的“平顶型”函数;
④当t≤时,函数f(x)=是区间[0,+∞)上的“平顶型”函数.
其中正确的结论是________.(填序号)
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【题目】如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF= , 则下列结论中错误的个数是( )
(1) AC⊥BE.
(2) 若P为AA1上的一点,则P到平面BEF的距离为.
(3) 三棱锥A-BEF的体积为定值.
(4) 在空间与DD1,AC,B1C1都相交的直线有无数条.
(5) 过CC1的中点与直线AC1所成角为40并且与平面BEF所成角为50的直线有2条.
A.0
B.1
C.2
D.3
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【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.
(1)证明:MN∥平面PAB;
(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
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