Question

已知焦点在x轴，中心在原点的双曲线的渐近线方程为y=

3

x，且过点（2，3）．
（1）若双曲线的左右焦点为F₁，F₂，双曲线C上的点P满足

PF1

•

PF2

=1，求|PF₁|•|PF₂|的值；
（2）过双曲线的左顶点A的直线l与双曲线的右支交于另一点P（不同于右顶点B）且与在点B处的x轴的垂线交于点D，求证：以BD为直径的圆与直线PF（F为右焦点）相切．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意可设双曲线的标准方程为：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0）．由于双曲线的渐近线方程为y=

3

x，且过点（2，3），可得

b a = 3 4 a2 - 9 b2 =1 c2=a2+b2

，可得双曲线的方程为x2-

y2

3

=1．不妨设|PF₁|=m，|PF₂|=n，m＞n，∠F₁PF₂=θ．由

PF1

•

PF2

=1，可得mncosθ=1．由余弦定理可得：2²=m²+n²-2mncosθ，根据定义可得m-n=2，
即可解得mn．
（2）F（2，0），B（1，0），A（-1，0）．设直线AP：y=k（x+1）（k＞0）．P（x₀，y₀）．可得

y

2 0

=3(

x

2 0

-1)，y₀=k（x₀+1）．D（1，2k），线段BD的中点C（1，k），|BD|=2k．要以BD为直径的圆与直线PF相切，只要点C到直线PF的距离d=k即可．

解答： 解：（1）由题意可设双曲线的标准方程为：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0）．
∵双曲线的渐近线方程为y=

3

x，且过点（2，3），∴

b a = 3 4 a2 - 9 b2 =1 c2=a2+b2

，解得a=1，b=

3

，c=2．
∴双曲线的方程为x2-

y2

3

=1．
∴F₁（-2，0），F₂（2，0）．
不妨设|PF₁|=m，|PF₂|=n，m＞n，∠F₁PF₂=θ．∵

PF1

•

PF2

=1，∴mncosθ=1．
由余弦定理可得：2²=m²+n²-2mncosθ，
∴m²+n²=6，
又m-n=2，
∴2mn=2，解得mn=1．
∴|PF₁|•|PF₂|=1．
（2）F（2，0），B（1，0），A（-1，0）．
设直线AP：y=k（x+1）（k＞0）．P（x₀，y₀）．
则

y

2 0

=3(

x

2 0

-1)，y₀=k（x₀+1）．
D（1，2k），线段BD的中点C（1，k），|BD|=2k．
下面证明：要以BD为直径的圆与直线PF相切，只要点C到直线PF的距离d=k即可．
直线PF的方程为：y=

y0

x0-2

(x-2)，即y₀x+（2-x₀）y-2y₀=0．
点C到直线PF的距离d=

|y0+k(2-x0)-2y0|

y 2 0 +(x0-2)2

=

|y0+k(x0-2)|

3( x 2 0 -1)+(x0-2)2

=

|k(x0+1)+k(x0-2)|

(2x0-1)2

=

|k(2x0-1)|

|2x0-1|

=k．
因此以BD为直径的圆与直线PF（F为右焦点）相切．

点评：本题考查了双曲线的定义标准方程及其性质、直线与双曲线相交问题、直线与圆相切问题、点到直线的距离公式、数量积运算、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．