Question

已知数列满足：，，（其中为非零常数，）．
（1）判断数列是不是等比数列？
（2）求；
（3）当时，令，为数列的前项和，求.

Answer 1

（1）数列是等比数列；（2），；（3）.

解析试题分析：（1）将数列的递推式进行变形得，从而利用定义得到数列是等比数列；（2）在（1）的基础上先求出数列的通项公式，再利用累乘法求数列的通项公式；（3）在（2）的基础上，将代入数列的通项公式，从而求出数列的通项公式，并根据数列的通项公式，对、以及进行三种情况的分类讨论，前两种情况利用等差数列求和即可，在最后一种情况下利用错位相减法求数列的前项和，最后用分段的形式表示数列的前项和.
试题解析：（1）由，得．
令，则，．
，，（非零常数），
数列是等比数列．
（2）数列是首项为，公比为的等比数列，
，即．
当时，
，
满足上式，．
（3），
当时，．
，              ①
    ②
当，即时，①②得：
，
即．
而当时，，
当时，．
综上所述，
考点：1.定义法证明等比数列；2.累乘法求数列通项；3.等差数列求和；4.错位相减法求和