Question

8．已知函数f（x）=2cos²x+sin2x+a（a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）当x∈[0，$\frac{π}{6}$]时，f（x）的最大值为2+$\sqrt{2}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式及两角和的正弦变形，然后由复合函数的单调性求得求函数f（x）的单调增区间；
（2）由x的范围求得相位的范围，进一步得到函数的最大值求得a．

解答 解：（1）f（x）=2cos²x+sin2x+a=1+cos2x+sin2x+a
=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）+a+1$．
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}+2kπ$，解得：$-\frac{3π}{8}+kπ≤x≤\frac{π}{8}+kπ，k∈Z$．
∴函数f（x）的单调增区间为[$-\frac{3π}{8}+kπ，\frac{π}{8}+kπ$]，k∈Z；
（2）当x∈[0，$\frac{π}{6}$]时，$2x+\frac{π}{4}∈[\frac{π}{4}，\frac{7π}{12}]$，
∴$f（x）_{max}=\sqrt{2}+a+1=2+\sqrt{2}$，即a=1．

点评 本题考查三角函数值的恒等变换应用，考查了三角函数的图象和性质，是中档题．