(本小题满分14分)
(本题满分14分)设函数=
,
∈R
(1)若=
为
的极值点,求实数
;
(2)求实数的取值范围,使得对任意的
(0,3
],恒有
≤4
成立.
注:为自然对数的底数。
(1) 或
;(2)
.
【解析】第一问利用导数在=
为
的极值点,先求导,然后在x=e处的导数值为零得到a的值。
第二问中,要是对任意的(0,3
],恒有
≤4
成立,只需求解函数y=f(x)在给定区间
(0,3
]的最大值小于等于4
即可。
解:(1)求导得f’(x)=2(x-a)lnx+=(
)(2ln x+1-
).(2分)
因为x=e是f(x)的极值点,所以f’(e)= ,(3分)
解得 或
,经检验,符合题意,所以
或
。(4分)
(2)解:①当时,对于任意的实数a,恒有
成立,(6分)
②当,由题意,首先有
,
解得
(7分)
由(Ⅰ)知,
,
则,
,
且
=。
(8分)
又在(0,+∞)内单调递增,所以函数
在(0,+∞)内有唯一零
点,记此零点为,则
,
。从而,当
时,
;
当时,
;当
时,
,即
在
内
单调递增,在内单调递减,在
内单调递增。 (10分)
所以要使对
恒成立,只要
成立。
,知
(3)
将(3)代入(1)得,
(12分)
又,注意到函数
在[1,+∞)内单调递增,故
。
再由(3)以及函数2xlnx+x在(1.+ +∞)内单调递增,可得。
由(2)解得,。
所以
综上,a的取值范围为。
(14分)
科目:高中数学 来源: 题型:
3 |
π |
4 |
π |
4 |
π |
2 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
(本小题满分14分)设椭圆C1的方程为(a>b>0),曲线C2的方程为y=
,且曲线C1与C2在第一象限内只有一个公共点P。(1)试用a表示点P的坐标;(2)设A、B是椭圆C1的两个焦点,当a变化时,求△ABP的面积函数S(a)的值域;(3)记min{y1,y2,……,yn}为y1,y2,……,yn中最小的一个。设g(a)是以椭圆C1的半焦距为边长的正方形的面积,试求函数f(a)=min{g(a), S(a)}的表达式。
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科目:高中数学 来源:2011年江西省抚州市教研室高二上学期期末数学理卷(A) 题型:解答题
(本小题满分14分)
已知=2,点(
)在函数
的图像上,其中
=
.
(1)证明:数列}是等比数列;
(2)设,求
及数列{
}的通项公式;
(3)记,求数列{
}的前n项和
,并证明
.
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科目:高中数学 来源:2015届山东省威海市高一上学期期末考试数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本小题满分14分)
某网店对一应季商品过去20天的销售价格及销售量进行了监测统计发现,第天(
)的销售价格(单位:元)为
,第
天的销售量为
,已知该商品成本为每件25元.
(Ⅰ)写出销售额关于第
天的函数关系式;
(Ⅱ)求该商品第7天的利润;
(Ⅲ)该商品第几天的利润最大?并求出最大利润.
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年广东省高三下学期第一次月考文科数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本小题满分14分)已知的图像在点
处的切线与直线
平行.
⑴ 求,
满足的关系式;
⑵ 若上恒成立,求
的取值范围;
⑶ 证明:(
)
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