Question

对一切的x∈（0，+∞），3x²+2ax-2xlnx+1≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：先分离参数，再用导数法，求出相应函数的最值，即可求实数a的取值范围．

解答：解：∵x＞0，∴3x²+2ax-2xlnx+1≥0可化为a≥lnx-

3

2

x-

1

2x

恒成立．（3分）
令h(x)=lnx-

3

2

x-

1

2x

，则h′(x)=-

(x-1)(3x+1)

2x2

  （6分）
令h′（x）＞0，∵x＞0，∴0＜x＜1；
令h′（x）＜0，∵x＞0，∴x＞1，
∴函数在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减
∴x=1时，h（x）取得最大值-2，（  10分）
∴a≥-2．
∴a的取值范围是[-2，+∞）．       （12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，考查函数的最值，属于中档题．