Question

(本小题满分14分)

已知函数在处有极小值。

（1）求函数的解析式；

（2）若函数在只有一个零点，求的取值范围。

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2），或，或。

【解析】

试题分析：（1）…………………………………1分

由有，…………………………2分

解得，………………………………………3分

此时，

满足在处取极小值……4分

∴………………………………5分

（2）

∴…………6分

当时，，∴在上有一个零点（符合）……8分

当时，

①若方程在上有2个相等实根，即函数在上有一个零点。

则，得……………………………………10分

②若有2个零点，1个在内，另1个在外，

则，即，解得，或…12分

经检验有2个零点，不满足题意。

综上：的取值范围是，或，或……………………14分

考点：利用导数研究函数的极值；函数的零点；二次方程根的分布。

点评：（1）本题主要考查一个一元二次方程根的分布问题．在二次项系数不确定的情况下，一定要分二次项系数分为0和不为0两种情况讨论．（2）当一元二次方程有两相等实根时，对应的一元二次函数只有一个零点。