分析 (1)利用正弦定理把题设中关于边的等式转换成角的正弦,进而利用两角和公式化简整理求得cosC,进而求得C.
(2)由A+B=$\frac{2π}{3}$,利用三角函数恒等变换的应用化简已知可得2sin2A+cos(A-B)=1+$\sqrt{3}$sin(2A-$\frac{π}{3}$),由A+C>$\frac{π}{2}$,可得$\frac{π}{6}$<A<$\frac{π}{2}$,求得范围0<2A-$\frac{π}{3}$<$\frac{2π}{3}$,利用正弦函数的图象和性质可得0<sin(2A-$\frac{π}{3}$)≤1,从而可求取值范围是(1,1+$\sqrt{3}$].
解答 解:(1)∵acosB,ccosC,bcosA成等差数列.
∴acosB+bcosA=2ccosC,
∴由题意得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC,
即sinC=2sinCcosC,
∴cosC=$\frac{1}{2}$,
∴锐角C=$\frac{π}{3}$…6分
(2)∵C=$\frac{π}{3}$,∴A+B=$\frac{2π}{3}$,
∴2sin2A+cos(A-B)=1-cos2A+cos(2A-$\frac{2π}{3}$)
=1-cos2A-$\frac{1}{2}$cos2A+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2A
=1+$\sqrt{3}$sin(2A-$\frac{π}{3}$),
在锐角△ABC中,∵A+C>$\frac{π}{2}$,
∴$\frac{π}{6}$<A<$\frac{π}{2}$,
则0<2A-$\frac{π}{3}$<$\frac{2π}{3}$,
则有0<sin(2A-$\frac{π}{3}$)≤1,
即有1<1+sin(2A-$\frac{π}{3}$)≤1+$\sqrt{3}$.
则所求取值范围是(1,1+$\sqrt{3}$]…12分
点评 本题主要考查了正弦定理的应用,三角函数的化简和求值,正弦函数的图象和性质,考查二倍角公式,以及两角和差的正弦、余弦公式,属于中档题.
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A. | 充分不必要条件 | B. | 必要不充分条件 | ||
C. | 充要条件 | D. | 既不充分也不必要条件 |
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A. | (-4,4) | B. | [-4,4] | C. | (-∞,-4)∪(4,+∞) | D. | (-∞,-4]∪[4,+∞) |
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