Question

将圆x²+y²+2x-2y=0按向量

a

=(1， -1)平移得到⊙O，直线l与⊙O相交于A、B两点，若在⊙O上存在点C，使

OC

+

OA

+

OB

=

0

，  且

OC

=λ

a

．求直线l的方程．

Answer 1

分析：先求出平移后的圆的方程，设出直线的方程，并把它代入圆的方程利用一元二次方程根与系数的关系，求出点C的坐标的解析式，把点C的坐标代入圆的方程，可解得m值．

解答：解：将圆的方程x²+y²+2x-2y=0化为（x+1）²+（y-1）²=2，
∴圆x²+y²+2x-2y=0按向量

a

=(1， -1)平移后得到圆x²+y²=2，
∵-

OC

=

OA

+

OB

=λ

a

，又 |

OA

|=|

OB

|=

2

，
∴AB⊥OC，

OC

∥

a

，
∴直线l的斜率 k=1，设直线l的方程为 y=x+m，
由

y=x+m x2+y2=2

得 2x²+2mx+m²-2=0，△=4m²-8（m²-2）＞0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则 x₁+x₂=-m，y₁+y₂=m
∴

OC

=(m，-m)，∵点 C（m，-m）在圆上，
∴m²+（-m）²=2
解得m=±1，满足△=4m²-8（m²-2）＞0，
当 m=1时，l的方程为x-y+1=0，
当 m=-1时，l的方程为x-y-1=0．

点评：本题考查向量在几何中的应用，直线和圆相交的性质，一元二次方程根与系数的关系，体现了数形结合的数学思想，属中档题．