Question

已知正数a，b，c满足：ab+bc+ca=1．
（1）求证：（a+b+c）²≥3；（2）求a

bc

+b

ac

+c

ab

的最大值．

Answer 1

分析：（1）将（a+b+c）²展开后，利用不等式a²+b²+c²≥ab+bc+ca代入即可证得结论；
（2）利用均值不等式可得a

bc

≤a×

b+c

2

=

ab+ac

2

，同理得b

ac

≤b×

a+c

2

=

ab+bc

2

，c

ab

≤c×

a+b

2

=

ac+bc

2

，将三式相加即可得到a

bc

+b

ac

+c

ab

的最大值．

解答：解：（1）∵a²+b²+c²≥ab+bc+ca
∴（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac≥3（ab+bc+ca）=3
当且仅当a=b=c取等号，故原不等式成立；
（2）∵a

bc

≤a×

b+c

2

=

ab+ac

2

b

ac

≤b×

a+c

2

=

ab+bc

2

c

ab

≤c×

a+b

2

=

ac+bc

2

∴a

bc

+b

ac

+c

ab

≤ab+bc+ca=1
当且仅当a=b=c取等号，
∴a

bc

+b

ac

+c

ab

的最大值为1．

点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，解题时注意等号成立的条件，属于中档题．