Question

已知数列{a_n}的相邻两项a_n，a_n+1是关于x的方程x2-2nx+bn=0，(n∈N*)的两根，且a₁=1．
（1）求证：数列{an-

1

3

×2n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）若b_n-mS_n＞0对任意的n∈N^*都成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由韦达定理可得a_n+a_n+1=2ⁿ，从而利用等比数例的定义即可证得数列{an-

1

3

×2n}是等比数列；
（2）由（1）可求得a_n=

1

3

[2ⁿ-（-1）ⁿ]，利用分组求和的方法即可求得数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）由韦达定理可得a_n•a_n+1=b_n，而a_n=

1

3

[2ⁿ-（-1）ⁿ]，从而可求得b_n，结合b_n-mS_n＞0对任意的n∈N^*都成立，分n为奇数与偶数讨论即可求得m的取值范围．

解答：解：（1）∵a_n+a_n+1=2ⁿ，
∴a_n+1-

1

3

•2ⁿ⁺¹
=（2ⁿ-a_n）-

1

3

•2ⁿ⁺¹
=-a_n+2ⁿ（1-

2

3

）
=-(an-

1

3

•2n)
∴

an+1- 1 3 •2n+1

an- 1 3 •2n

=-1，
∴{a_n-

1

3

•2ⁿ}是等比数列，
又a₁-

2

3

=

1

3

，q=-1
∴a_n=

1

3

[2ⁿ-（-1）ⁿ]．
（2）S_n=a₁+a₂+…+a_n
=

1

3

[（2+2²+…+2ⁿ）-（（-1）+（-1）²+…+（-1）ⁿ）]

= 1 3 [ 2(1-2n) 1-2 - (-1)(1-(-1)n) 1+1 ] = 1 3 [2n+1-2- -1+(-1)n 2 ] = 2n+1 3 - 2 3    n偶 2n+1 3 - 1 3    n奇

（3）∵a_n，a_n+1是关于x的方程x2-2nx+bn=0，(n∈N*)的两根，
∴b_n=a_n•a_n+1，b_n=

1

9

[2ⁿ-（-1）ⁿ][2ⁿ⁺¹-（-1）ⁿ⁺¹]
=

1

9

[2ⁿ⁺¹-（-2）ⁿ-1]
∵b_n-ms_n＞0，
∴

1

9

[22n+1-(-2)n-1]-m•

1

3

[2n+1-2-

(-1)n-1

2

]＞0，
当n为奇数时，

1

9

[2²ⁿ⁺¹+2ⁿ-1]-

m

3

（2ⁿ⁺¹-1）＞0，
∴m＜

1

3

（2ⁿ+1）对?n∈{奇数}都成立，
∴m＜1．
当n为偶数时，

1

9

[2²ⁿ⁺¹-2ⁿ-1]-

m

3

（2ⁿ⁺¹-2）＞0，

1

9

[2²ⁿ⁺¹-2ⁿ-1]-

2m

3

（2ⁿ-1）＞0，
∴m＜

1

6

（2ⁿ⁺¹+1）对?n∈{偶数}都成立，
∴m＜

3

2

．
综上所述，m的取值范围为m＜1．

点评：本题考查数列与不等式的综合，考查等比关系的确定，着重考查数列的分组求和，渗透化归思想与分类讨论思想的综合应用，属于难题．