Question

已知正项数列{a_n}，其前n项和S_n满足8S_n=a_n²+4a_n+3，且a₂是a₁和a₇的等比中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n

2Sn

n

，数列{b_n}的前n项和为T_n，求使T_n＞60n+800成立的最小正整数n的值．

Answer 1

考点：数列的求和,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用递推关系式求出数列是等差数列，进一步确定通项公式．
（Ⅱ）直接转化出bn=

2Sn

n

=4n-2，求出前n项和，最后求出最小值n．

解答： 解：（Ⅰ）正项数列{a_n}，其前n项和S_n满足8S_n=a_n²+4a_n+3，①
所以：8Sn-1=an-12+4an-1+3②
所以：①-②得
（a_n-a_n-1-4）（a_n+a_n-1）=0
由于数列是正项数列，所以：a_n-a_n-1=4
所以{a_n）是以a₁为首项4为公差的等差数列，
由于8a1=a12+4a1+3
解得：a₁=3或1
a₂是a₁和a₇的等比中项
所以：a₁=3舍去
故：a_n=4n-3
（Ⅱ）由上步结论：a_n=4n-3
bn=

2Sn

n

=4n-2
T_n=b₁+b₂+…+b_n=2n²
由于2n²＞60n+800
解不等式得：n＞40或n＜-10
所以n的最小值为：41

点评：本题考查的知识要点：利用递推关系式求数列的通项公式，等差数列的前n项和公式的应用，最小值问题的应用．