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    给出定义：若m-
    1
    2
    ＜x≤m+
    1
    2
    (m∈Z)    ，则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m．在此基础上有函数f（x）=|x-{x}|（x∈R）．对于函数f（x）给出如下判断．
    ①函数y=f（x）是偶函数；②函数f（x）是周期函数；③函数y=f（x）在区间(-
    1
    2
    ，
    1
    2
    ]    上单调递增；
    ④函数y=f（x）的图象关于直线x=k+
    1
    2
    (k∈Z)    对称；⑤函数y=f（x）的图象关于直线x=k（k∈Z）对称．
    以上判断中正确的结论有
    ①②④⑤
    ①②④⑤
    ．（写出所有正确结论的序号）
    分析：①通过判断f（-x）是否等于f（x），来判断函数的奇偶性．②利用周期性的定义，若函数满足f（x+T）=f（x），则函数为周期是T的周期函数．③可举出不成立的情况，说明函数y=f（x）在区间(-
    1
    2
    ，
    1
    2
    ]    上不是单调递增．④⑤利用若函数满足f（a-x）=f（x），则函数对称轴为x=
    a-x+x
    2
    ，来判断函数的对称性．
    解答：解：∵m-
    1
    2
    ＜x≤m+
    1
    2
    (m∈Z)    ，∴-m-
    1
    2
    ＜-x≤-m+
    1
    2
    (m∈Z)
    ∴f（-x）=|-x-{-x}|=|-x-（-m）|=|x-m|，f（x）=|x-{x}|=|x-m|
    ∴f（-x）=f（x）∴①正确
    ∵m-
    1
    2
    ＜x≤m+
    1
    2
    (m∈Z)    ，∴m+1-
    1
    2
    ＜x+1≤m+1+
    1
    2
    (m∈Z)
    {x+1}=m+1
    ∴f（x+1）=|x+1-{x+1}|=|x+1-（m+1）|=|x-m|=f（x）
    ∴函数f（x）是周期函数，∴②正确．
    ∵
    1
    4
    ∈(-
    1
    2
    ，
    1
    2
    ]    ，
    1
    3
    ∈(-
    1
    2
    ，
    1
    2
    ]    ，且{
    1
    4
    }=0，{
    1
    3
    }=0
    不满足区间(-
    1
    2
    ，
    1
    2
    ]    上单调递增，∴③错误
    ∵m-
    1
    2
    ＜x≤m+
    1
    2
    (m∈Z)    ，∴2k+1-m-
    1
    2
    ＜2k+1-x≤2k+1-m+
    1
    2
    (m∈Z)
    ∴{2k+1-x}=2k+1-m
    ∴f（2k+1-x）=|2k+1-x-{2k+1-x}|=|2k+1-x-（2k+1-m）|=|x-{x}|=f（x）
    ∴函数y=f（x）的图象关于直线x=k+
    1
    2
    (k∈Z)    对称
    ∴④正确
    ∵m-
    1
    2
    ＜x≤m+
    1
    2
    (m∈Z)    ，∴2k-m-
    1
    2
    ＜2k-x≤2k-m+
    1
    2
    (m∈Z)
    ∴{2k-x}=2k-m
    ∴f（2k-x）=|2k-x-{2k-x}|=|2k-x-（2k-m）|=|x-{x}|=f（x）
    ∴函数y=f（x）的图象关于直线x=k（k∈Z）对称，⑤正确
    故答案为①②④⑤
    点评：本题主要考查了函数奇偶性，周期性，单调性，对称性的判断，属于性质的综合．
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    ＜x≤m+
    1
    2
    （其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=x-{x}的四个命题：
    ①y=f（x）的定义域是R，值域是（-
    1
    2
    ，
    1
    2
    ]；
    ②点（k，0）（k∈Z）是y=f（x）的图象的对称中心；
    ③函数y=f（x）的最小正周期为1；
    ④函数y=f（x）在（-
    1
    2
    ，
    3
    2
    ]上是增函数；
    则其中真命题是
     
    ．

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    给出定义：若m-
    1
    2
    ＜x≤m+
    1
    2
    （其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m，在此基础上给出下列关于函数f（x）=x-{x}的四个命题：
    ①y=f（x）的定义域是R，值域是（-
    1
    2
    ，
    1
    2
    ]；
    ②点（k，0）（k∈Z）是y=f（x）的图象的对称中心；
    ③函数y=f（x）在（-
    1
    2
    ，
    3
    2
    ]上是增函数；
    ④函数y=f（x）的最小正周期为1；
    则其中真命题是
    ①④
    ①④
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•门头沟区一模）给出定义：若m-
    1
    2
    ≤x＜m+
    1
    2
    （其中m为整数），则m叫离实数x最近的整数，记作[x]=m，已知f（x）=|[x]-x|，下列四个命题：
    ①函数f（x）的定义域为R，值域为[0，
    1
    2
    ]    ； ②函数f（x）是R上的增函数；
    ③函数f（x）是周期函数，最小正周期为1；  ④函数f（x）是偶函数，
    其中正确的命题的个数是（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•昌平区二模）给出定义：若m-
    1
    2
    ＜x≤m+
    1
    2
    （其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}=m，在此基础上给出下列关于函数f（x）=x-{x}的四个命题：
    ①函数y=f（x）的定义域为R，最大值是
    1
    2
    ；②函数y=f（x）在[0，1]上是增函数；
    ③函数y=f（x）是周期函数，最小正周期为1；④函数y=f（x）的图象的对称中心是（0，0）．
    其中正确命题的序号是
    ①③
    ①③
    ．

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    1
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    1
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    2
    ，
    1
    2
    ]    上单调递增；④函数f（x）的图象关于直线x=k+
    1
    2
    （k∈Z）对称．则以上判断中正确结论的个数是（　　）

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