Question

5．如图，已知抛物线C：y²=4x，点P（a，0），其中a＜0，过点P作直线l₁：x=my+a，与C交于不同的两点A，B
（1）若a=-2，求实数m的取值范围
（2）记直线l₂：x=my-a，以线段AB为其中一边作一矩形，且另一边在直线l₂上，若该矩形的面积记为S，点P与线段AB中点的距离记为d，求$\frac{d}{S}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）直线方程与抛物线方程联立，利用判别式，即可求实数m的取值范围；
（2）直线l₁：x=my+a代入抛物线C：y²=4x，求出|AB|，d，表示出$\frac{d}{S}$，换元，利用基本不等式，即可求$\frac{d}{S}$的取值范围．

解答 解：（1）若a=-2，则直线l₁：x=my-2，
代入抛物线C：y²=4x，整理可得y²-4my+8=0，
∴△=16m²-32＞0，
∴m＜-$\sqrt{2}$或m$＞\sqrt{2}$；
（2）直线l₁：x=my+a代入抛物线C：y²=4x，整理可得y²-4my-4a=0，
∴△=16m²+16a＞0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．则y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4a
∴x₁+x₂=m（y₁+y₂）+2a=4m²+2a，x₁x₂=a²，
设线段AB的中点为Q，则Q（2m²+a，2m），
∴d=$\sqrt{[a-（2{m}^{2}+a）]^{2}+（0-2m）^{2}}$=|2m|•m$\sqrt{{m}^{2}+1}$，|AB|=4$\sqrt{（{m}^{2}+1）（{m}^{2}+a）}$．
∵直线l₁与l₂的距离=$\frac{|2a|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$，
∴S=|AB|•$\frac{|2a|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$=8|a|$\sqrt{{m}^{2}+a}$，
∴$\frac{d}{S}$=$\frac{1}{4|a|}$•$\sqrt{\frac{{m}^{2}（{m}^{2}+1）}{{m}^{2}+a}}$，
令m²+a=t（t＞0），∴m²=t-a，
∴$\frac{d}{S}$=$\frac{1}{4|a|}\sqrt{t+\frac{（a-1）a}{t}+1-2a}$，
∵a＜0，
∴（a-1）a＞0，
∴$\frac{d}{S}$=$\frac{1}{4|a|}\sqrt{t+\frac{（a-1）a}{t}+1-2a}$≥-$\frac{1}{4a}\sqrt{2\sqrt{（a-1）a}+1-2a}$，
当且仅当t=$\sqrt{（a-1）a}$时，等号处理，
∴$\frac{d}{S}$的取值范围是[-$\frac{1}{4a}\sqrt{2\sqrt{（a-1）a}+1-2a}$，+∞）．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查矩形的面积，考查基本不等式的运用，正确转化是关键．