Question

【题目】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，P，Q分别是AA1 ， B1C1上的点，且AP=3A1P，B1C1=4B1Q．
（1）求证：PQ∥平面ABC1；
（2）若AB=AA1 ， BC=3，AC1=3，BC1= ，求证：平面ABC1⊥平面AA1C1C．

Answer 1

【答案】
（1）证明：在BB1取点E，使BE=3EB1，连结PE、QE，

∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，P，Q分别是AA1，B1C1上的点，且AP=3A1P，B1C1=4B1Q，

∴PE∥AB，QE∥BC1，

∵AB∩BC1=B，PE∩QE=E，AB、BC1平面ABC1，

PE、QE平面PQE，

∴平面ABC1∥平面PQE，

∵PQ平面PQE，∴PQ∥平面ABC1．

（2）解：∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，

∴AB⊥CC1，BC⊥CC1，

∵AB=AA1，BC=3，AC1=3，BC1= ，

∴AB=AA1=CC1= =2，AC= = = ，

∴AB2+AC2=BC2，∴AB⊥AC，

又AC∩CC1=C，∴AB⊥平面AA1C1C，

∵AB平面ABC1，∴平面ABC1⊥平面AA1C1C．

【解析】（1）在BB1取点E，使BE=3EB1，连结PE、QE，推导出平面ABC1∥平面PQE，由此能证明PQ∥平面ABC1．（2）推导出AB⊥CC1，BC⊥CC1，AB⊥AC，从而AB⊥平面AA1C1C，由此能证明平面ABC1⊥平面AA1C1C．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行，以及对平面与平面垂直的判定的理解，了解一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．