Question

已知=（c，0）（c＞0）,=(n,n)(n∈R),| |最小值为1.若动点P同时满足下列条件：①||=||(a＞c＞0)；②=λ,其中=(,t)(λ≠0,t∈R)；③动点P的轨迹C过点B（0,-1）.

(1)求c的值；

(2)求曲线C的方程；

(3)过点M(0,2)的直线l与曲线C的轨迹交于A、B两点，求的取值范围.

Answer 1

解：（1）||=,

当n=时,||的最小值为1,∴=1.

∴c²=2.∴c=.                                                           

（2）∴

∴曲线C的方程为+y²=1.                                                

（3）设直线l的方程为y=kx+2.(1+3k²)x²+12kx+9=0.             (*)

由Δ＞0得(12k)²-4·9(1+3k²)＞0,

∴k²＞1.

x₁+x₂=-,x₁·x₂=.

·=(x₁,y₁-2)·(x₂,y₂-2)

=x₁x₂+(y₁-2)(y₂-2)

=(1+k²)x₁x₂=

=3+,

又∵k²＞1,∴3＜·＜.

当k不存在时，·=3，

∴3≤·＜.