Question

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-2．
（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）若函数y=f（x）与y=g（x）的图象恰有一个公共点，求实数a的值；
（3）若函数y=f（x）+g（x）有两个不同的极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），且x₂-x₁＞ln2，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）由f′（x）=lnx+1=0，可得x=
∴①时，函数f（x）在（t，）上单调递减，在（，t+2）上单调递增
∴函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值为；
②当t≥时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，∴f（x）_min=f（t）=tlnt，
∴f（x）_min=；
（2）函数y=f（x）与y=g（x）的图象恰有一个公共点，等价于f（x）-g（x）=xlnx+x²-ax+2=0在（0，+∞）上有且只有一根，即a=在（0，+∞）上有且只有一根
令h（x）=，则
∴x∈（0，1）时，h′（x）＜0，函数单调递减；x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，函数单调递增
∴a=h（x）_min=h（1）=3
（3）y=f（x）+g（x）=xlnx-x²+ax-2，则y′=lnx-2x+1+a
题意即为y′=lnx-2x+1+a=0有两个不同的实根x₁，x₂（x₁＜x₂），
即a=-lnx+2x-1有两个不同的实根x₁，x₂（x₁＜x₂），
等价于直线y=a与函数G（x）=-lnx+2x-1的图象有两个不同的交点
∵，∴G（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增
画出函数图象的大致形状（如右图），
由图象知，当a＞G（x）_min=G（）=ln2时，x₁，x₂存在，且x₂-x₁的值随着a的增大而增大
而当x₂-x₁=ln2时，由题意
两式相减可得
∴x₂=4x₁代入上述方程可得
此时
所以，实数a的取值范围为．
分析：（1）求导数，再分类讨论，确定函数在区间上的单调性，即可求得函数的最小值；
（2）将函数图象只有一个公共点转化为方程只有一根，再分离参数，求出函数的最小值即可；
（3）函数由两个不同的极值点转化为导函数等于0的方程有两个不同的实数根，进而转化为图象的交点问题，由此可得结论．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查分离参数法的运用，考查数形结合的数学思想，综合性强．