Question

如图所示，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E是CD的中点，O为AE的中点，以AE为折痕将
△ADE向上折起，使D到P，且PC=PB
（1）求证：PO⊥面ABCE．（2）求AC与面PAB所成角θ的正弦值．

Answer 1

分析：（1）取BC的中点F，连OF，PF，证明OF⊥BC，BC⊥PF，得到BC⊥面POF
从而证明BC⊥PO，可得PO⊥面ABCE
（2）作OG∥BC交AB于G，OG⊥OF如图，建立直角坐标系，设平面PAB的法向量为

n

=(x，y，z)

n • AP =-x+y+ 2 z=0 n • AB =4y=0

?

n

=(

2

，0，1)，得到AC与面PAB所成角θ的正弦值sinθ=|cos＜

n

，

AC

＞|=

30

15

解答：解：（1）PA=PE，OA=OE∴PO⊥AE（1）
取BC的中点F，连OF，PF，∴OF∥AB，∴OF⊥BC
因为PB=PC∴BC⊥PF，所以BC⊥面POF
从而BC⊥PO（2）
由（1）（2）可得PO⊥面ABCE
（2）作OG∥BC交AB于G，OG⊥OF如图，建立直角坐标系{

OG

，

OF

，

OP

}，
A(1，-1，0)，B(1，3，0)，C(-1，3，0)，P(0，0

2

)

AC

=(-2，4，0)，

AP

=(-1，1，

2

)，

AB

=(0，4，0)
设平面PAB的法向量为

n

=(x，y，z)

n • AP =-x+y+ 2 z=0 n • AB =4y=0

?

n

=(

2

，0，1)AC与面PAB所成角θ的正弦值sinθ=|cos＜

n

，

AC

＞|=

30

15

点评：本题是中档题，考查直线与平面所成角正弦值的求法，直线与直线的垂直的证明方法，考查空间想象能力，计算能力，熟练掌握基本定理、基本方法是解决本题的关键．