Question

已知函数f（x）=x•lnx，g（x）=ax³-

1

2

x-

2

3e

．
（1）求f（x）的单调增区间和最小值；
（2）若函数y=f（x）与函数y=g（x）在交点处存在公共切线，求实数a的值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）求导f′（x）=1+lnx，令f′（x）=1+lnx＞0解得增区间，再求最小值即可；
（2）求导f′（x）=1+lnx，g′（x）=3ax²-

1

2

，则由函数y=f（x）与函数y=g（x）在交点处存在公共切线知1+lnx=3ax²-

1

2

，x•lnx=ax³-

1

2

x-

2

3e

；联立求解．

解答： 解：（1）f′（x）=1+lnx，
令f′（x）=1+lnx＞0解得，x＞

1

e

；
故f（x）的单调增区间为（

1

e

，+∞）；
f（x）的单调减区间为（0，

1

e

）；
故f（x）的最小值为f（

1

e

）=-

1

e

；
（2）f′（x）=1+lnx，g′（x）=3ax²-

1

2

，
∵函数y=f（x）与函数y=g（x）在交点处存在公共切线，
∴1+lnx=3ax²-

1

2

①，x•lnx=ax³-

1

2

x-

2

3e

②；
由①得，ax²=

lnx

3

+

1

2

；
代入②得，
x•lnx=x（

lnx

3

+

1

2

）-

1

2

x-

2

3e

；
化简可得，xlnx=-

1

e

；
故x=

1

e

；
故3a

1

e2

-

1

2

=0；
解得a=

e2

6

．

点评：本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义的应用，属于中档题．