Question

已知定义在R上的偶函数f（x）满足条件f（x+1）=-f（x），且在[-1，0]上是增函数，给出下列命题，其中正确的是

①④

（1）f（x）的图象关于直线x=1对称；
（2）f（2）=f（0）；
（3）f（x）在[0，1]上是增函数；
（4）f（x）在[1，2]上是减函数．

Answer 1

分析：由f（x+1）=-f（x），可得f[（x+1）+1]=f（x），由周期函数的定义求出函数周期性，结合函数的奇偶性，可判断①的真假；
根据偶函数在对称区间上对称性相反，结合已知f（x）在[-1，0]上是增函数，可判断②的真假；
由f（x+1）=-f（x），可得f[（x+1）+1]=f（x），根据函数的周期性及②中结论，可判断③的真假；
由f（x+1）=-f（x），可得f[（x+1）+1]=f（x），根据函数的周期性，可判断④的真假；

解答：解：∵f（x+1）=-f（x），
∴f（x+2）=f[（x+1）+1]=-f（x+1）=f（x），故f（x）是以2为周期的周期函数，
又由函数f（x）是定义在R上的偶函数
∴f（-x）=f（x），
即f（x+2）=f（-x），故f（x）的图象关于直线x=1对称，故①正确；
∵偶函数f（x）在对称区间上单调性相反，且f（x）在[-1，0]上是增函数，得f（x）在[0，1]上是减函数，故②错误；
∵f（x）在[-1，0]上是增函数，且f（x）是以2为周期的周期函数，∴f（x）在[1，2]上是增函数，故③错误；
∵f（x）是以2为周期的周期函数，∴f（2）=f（0），故④正确；
故答案为：①④

点评：本题以命题的真假判断为载体考查了函数的单调性，奇偶性和周期性，其中熟练掌握周期函数在对应周期上单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反等性质是解答的关键．