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已知O是锐角三角形ABC的外心,△BOC,△COA,△AOB的面积数依次成等差数列.
(1)推算tanAtanC是否为定值?说明理由;
(2)求证:tanA,tanB,tanC也成等差数列.
分析:如图所示,设△ABC的外接圆半径为R,则S△BOC=
1
2
R2sin∠BOC=
1
2
R2sin2A
S△COA=
1
2
R2sin2B,S△AOB=
1
2
R2sin2C
,由题意可得2S△COA=S△BOC+S△AOB,整理可得2sin2B=sin2A+sin2C,结合三角形的内角和公式及和差角公式整理得 sinA•sinC=3cosA•cosC.
(1)因△ABC是锐角三角形,A≠
π
2
,C≠
π
2
,可知cosA≠0,cosC≠0,可求tanAtanC.
(2)要证tanA,tanB,tanC成等差数列.只要证明2tanB=tanA+tanC即可
解答:解:如图所示,设△ABC的外接圆半径为R,
S△BOC=
1
2
R2sin∠BOC=
1
2
R2sin2A

同理:S△COA=
1
2
R2sin2B,S△AOB=
1
2
R2sin2C

∵S△BOC,S△COA,S△AOB成等差数列,
∴2S△COA=S△BOC+S△AOB
1
2
R2sin2B=
1
2
R2sin2A+
1
2
R2sin2C

∴2sin2B=sin2A+sin2C,∴2sin2B=sin[(A+C)+(A-C)]+sin[(A+C)-(A-C)],
∴4sinBcosB=2sin(A+C)cos(A-C).
又A+B+C=π,故sinB=sin(A+C)≠0.
∴2cosB=cos(A-C).
又A+B+C=π,∴-2cos(A+C)=cos(A-C).
整理得 sinA•sinC=3cosA•cosC.
(1)因△ABC是锐角三角形,A≠
π
2
,C≠
π
2
,可知cosA≠0,cosC≠0,∴tanAtanC=3,
故tanAtanC为定值.
(2)∵tanB=-tan(A+C)=-
tanA+tanC
1-tanAtanC
=-
tanA+tanC
1-3
=
1
2
(tanA+tanC)
.∴2tanB=tanA+tanC,
即tanA,tanB,tanC成等差数列.
点评:本题主要以等差数列的性质为切入点,主要考查了三角形中正弦定理、两角和与差的三角公式,三角形的内角和公式等知识的综合应用.
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已知O是锐角三角形△ABC的外接圆的圆心,且∠A=θ,若
cosB
sinC
AB
+
cosC
sinB
AC
=2m
AO
,则m=(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知O是锐角三角形ABC的外接圆的圆心,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A=
π
4
,若
cosB
sinC
AB
+
cosC
sinB
AC
=2m
AO
,则m,的值为(  )

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已知O是锐角三角形△ABC的外接圆的圆心,且∠A=θ,若
cosB
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cosC
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=2m
AO
,则m=(  )
A.sinθB.cosθC.tanθD.不能确定

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A.
B.1
C.
D.

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A.sinθ
B.cosθ
C.tanθ
D.不能确定

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