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    已知双曲线与椭圆
    x2
    4
    +y2=1    共焦点，它们的离心率之和为
    3
    		3
    2
    ；
    （1）求椭圆与双曲线的离心率e1、e2；
    （2）求双曲线的标准方程与渐近线方程；
    （3）已知直线l：y=
    1
    2
    x+m    与椭圆有两个交点，求m的取值范围．
    （1）∵椭圆
    x2
    4
    +y2=1    中，
    a=2，c=
    		3

    ∴椭圆离心率e1=
    		3
    2
    ．
    ∵双曲线与椭圆
    x2
    4
    +y2=1    的离心率之和为
    3
    		3
    2
    ，
    ∴双曲线的离心率e2=
    3
    		3
    2
    -
    		3
    2
    =
    		3
    ．
    （2）∵椭圆
    x2
    4
    +y2=1    焦点为F1（-
    		3
    ，0），F2（
    		3
    ，0），
    双曲线与椭圆
    x2
    4
    +y2=1    共焦点，
    ∴双曲线的焦点为F1（-
    		3
    ，0），F2（
    		3
    ，0），
    ∵双曲线的离心率e2=
    		3
    ．
    ∴双曲线的标准方程为x2-
    y2
    2
    =1    ，
    ∴双曲线的渐近线方程为y=±
    		2
    x．
    （3）由
    x2
    4
    +y2=1
    y=
    1
    2
    x+m
    ，得2x2+4mx+4m2-4=0，
    ∵直线l：y=
    1
    2
    x+m    与椭圆有两个交点，
    ∴△=（4m）2-8（4m2-4）＞0，
    解得-
    		2
    ＜m＜
    		2
    ．
    故m的取值范围是（-
    		2
    ，
    		2
    ）．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    长方形ABCD，AB=2
    		2
    ，BC=1，以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系．
    （1）求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程：
    （2）过点p（0，2）的直线m与（1）中椭圆只有一个公共点，求直线m的方程：
    （3）过点p（0，2）的直线l交（1）中椭圆与M，N两点，是否存在直线l，使得以弦MN为直径的圆恰好过原点？若存在，直线l的方程；若不存在，说明理由．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，从椭圆E：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，又点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP，|F1A|=
    		10
    +
    		5
    ，
    （1）求椭圆E的方程．
    （2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点C，D，且
    OC
    ⊥
    OD
    ？若存在，写出该圆的方程，并求|CD|的取值范围；若不存在，说明理由．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆E：
    x2
    a2
    +y2=1    （a＞1）的离心率e=
    		3
    2
    ，直线x=2t（t＞0）与椭圆E交于不同的两点M、N，以线段MN为直径作圆C，圆心为C
    （Ⅰ）求椭圆E的方程；
    （Ⅱ）当圆C与y轴相切的时候，求t的值；
    （Ⅲ）若O为坐标原点，求△OMN面积的最大值．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    过双曲线
    x2
    3
    -
    y2
    6
    =1    的右焦点F，倾斜角为30°的直线交此双曲线于A，B两点，求|AB|．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    在平面直角坐标系中，已知焦距为4的椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    左、右顶点分别为A、B，椭圆C的右焦点为F，
    过F作一条垂直于x轴的直线与椭圆相交于R、S，若线段RS的长为
    10
    3
    ．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）设Q（t，m）是直线x=9上的点，直线QA、QB与椭圆C分别交于点M、N，求证：直线MN必过x轴上的一定点，并求出此定点的坐标．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）的左焦点为F1（-1，0），且点P（0，1）在C1上．
    （1）求椭圆C1的方程；
    （2）设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2=4x相切，求直线l的方程．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    F1，F2是双曲线
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1(a＞0，b＞0)    的左右焦点，Q是双曲线上动点，从左焦点引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为P，则P点的轨迹是（　　）的一部分．
    A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    双曲线C：
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1(a＞0，b＞0)    的两条准线间距离为3，右焦点到直线x+y-1=0的距离为
    		2
    2
    ．
    （1）求双曲线C的方程；
    （2）双曲线C中是否存在以点P(1，
    1
    2
    )    为中点的弦，并说明理由．

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