Question

20．设x，y满足约束条件：$\left\{{\begin{array}{l}{x≥y}\\{y≥1}\\{x+y≤4}\end{array}}\right.$的可行域为M；
（1）在所给的坐标系中画出可行域M（用阴影表示，并注明边界的交点）；
（2）求z=y-2x的最大值与最小值；
（3）设点P为圆x²+（y-3）²=1上的动点，Q为可行域M上的动点，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用二元一次不等式组表示平面区域进行作图即可；
（2）利用目标函数的几何意义即可求z=y-2x的最大值与最小值；
（3）利用数形结合，结合两点间的距离公式进行求解．

解答 解：（1）作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分三角形BCD）：
（2）由z=y-2x，得y=2x+z，
作出不等式对应的可行域，
平移直线y=2x+z，
由平移可知当直线y=2x+z经过点D时，
直线y=2x+z的截距最大，此时z取得最值，
经过点C时
直线y=2x+z的截距最小，此时z取得最小值．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=1}\\{x=y}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，即C（1，1），此时z=1-2=-1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=1}\\{x+y=4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，即D（3，1），此时z=1-2×3=-5，
即z=y-2x的最大值为-1，最小值为-5．
（3）圆x²+（y-3）²=1的圆心为E（0，3），半径R=1，
当直线y=x与圆相切时，圆心到直线的距离d=$\frac{|3|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
则|PQ|的最小值为d-R=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$-1．

点评 本题主要考查线性规划的应用，考查直线和圆的位置关系的应用，利用数形结合是解决本题的关键．