Question

【题目】某化工厂生产某种产品，当年产量在150吨至250吨时，每年的生产成本y万元与年产量x吨之间的关系可可近似地表示为y= ﹣30x+4000．
（1）若每年的生产总成本不超过2000万元，求年产量x的取值范围；
（2）求年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低，并求每吨的最低成本．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可得 ﹣30x+4000≤2000，解得100≤x≤200，

∵当年产量在150吨至250吨时，每年的生产成本y万元与年产量x吨之间的关系

可近似地表示为y= ﹣30x+4000，

∴150≤x≤200，

故每年的生产总成本不超过2000万元，年产量x的取值范围为[150，200]

（2）解：依题意，每吨平均成本为 （万元），

则 = + ﹣30≥2 ﹣30=10

当且仅当x=200时取等号，又150＜200＜250，

所以年产量为200吨时，每吨平均成本最低，每吨的最低成本10万元．

【解析】（1）根据题意使得成本不超过2000万元，列出不等式，求解不等式得到年产量x的范围，（2）表示出每吨平均成本为,利用均值不等式得到x的取值，故每吨最低成本为10万元.