Question

如图：已知四棱锥P-ABCD中，底面四边形为正方形，侧面PDC为正三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E为PC中点．
（1）求证：平面EDB⊥平面PBC；
（2）求二面角B-DE-C的平面角的正切值．

Answer 1

分析：（1）要证两个平面互相垂直，常规的想法是：证明其中一个平面过另一个平面的一条垂线，由于侧面PDC为正三角形，所以，DE⊥PC，那么我们自然想到：是否有DE⊥平面PBC，由此可证结论；
（2）确定∠BEC就是二面角B-DE-C的平面角，在Rt△ECB中，可求二面角B-DE-C的平面角的正切值．

解答：（1）证明：∵面PDC⊥底面ABCD，交线为DC，∴DE在平面ABCD内的射影就是DC．
在正方形ABCD中，DC⊥CB，∴DE⊥CB．
又PC∩BC=C，PC，BC?面PBC，∴DE⊥面PBC．
又DE?面EDB，
∴平面EDB⊥平面PBC．
（2）解：由（1）的证明可知：DE⊥面PBC，所以，∠BEC就是二面角B-DE-C的平面角．
∵面PDC⊥底面ABCD，交线为DC，平面ABCD内的直线CB⊥DC．
∴CB⊥面PDC．
又PC?面PDC，∴CB⊥PC．
在Rt△ECB中，tan∠BEC=

BC

CE

=2．

点评：本题考查面面垂直，考查线面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定方法，正确作出面面角．