Question

如图,已知抛物线C₁:y=x²,与圆C₂:x²+(y+1)²=1,过y轴上一点A(0,a)(a＞0)作圆C₂的切线AD,切点为D(x₀,y₀).

(1)证明(a+1)(y₀+1)=1;

(2)若切线AD交抛物线C₁于点E,且E为AD的中点,求点A纵坐标a.

Answer 1

(1)证明:因为AD是圆C₂:x²+(y+1)²=1的切线,

所以AD⊥C₂D.

于是有×=-1,

即x₀²+y₀²+y₀-ay₀-a=0.① 

又因为x₀²+(y₀+1)²=1,② 

由②-①得y₀+ay₀+a+1=1,即(a+1)(y₀+1)=1,结论成立.

(2)解:因为E为AD的中点,其坐标为(,),

所以=()²,即2y₀+2a=x₀².

又因为D(x₀,y₀)在圆上,所以2y₀+2a=1-(y₀+1)²,即y₀²+4y₀+2a=0,

将a=-1代入整理,得y₀(y₀²+5y₀+2)=0,y₀≠-1.

得y₀=0(因为切线为x轴,显然不符合题意,舍去),

或y₀=或y₀=＜-2(不满足圆的条件,舍去),

所以y₀=.

再由a=-1==.