Question

已知对任意实数x，函数f（x）和g（x）均满足：-

π

2

＜f(x)+g(x)＜

π

2

，-

π

2

＜f(x)-g(x)＜

π

2

，证明：对任意实数x，不等式cosf（x）＞sing（x）恒成立．

Answer 1

分析：根据f（x）和g（x）均满足：-

π

2

＜f(x)+g(x)＜

π

2

，-

π

2

＜f(x)-g(x)＜

π

2

，利用不等式的性质得出-

π

2

＜f(x)＜

π

2

-

π

2

＜g(x)＜

π

2

，再根据函数y=sinx的单调性，得sin（

π

2

-f(x)）＞sing（x），由三角函数的诱导公式，即可得得证明．

解答：解：∵f（x）和g（x）均满足：
-

π

2

＜f(x)+g(x)＜

π

2

，①
-

π

2

＜f(x)-g(x)＜

π

2

，②
由②得-

π

2

＜g(x)-f(x)＜

π

2

，③
①+②得：-

π

2

＜f(x)＜

π

2

，⇒0＜

π

2

-f(x)＜π，
①+③得：-

π

2

＜g(x)＜

π

2

，
由①得：g(x)＜

π

2

-f(x)，
根据函数y=sinx的单调性，得：
sin（

π

2

-f(x)）＞sing（x），
由三角函数的诱导公式，得
cosf（x）＞sing（x）．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、复合三角函数的单调性、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化思想．属于基础题．