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    已知二阶矩阵M=
    a1
    3b
    的特征值λ=-1所对应的一个特征向量
    e1
    =
    1
    -3
    ．
    （1）求矩阵M；
    （2）设曲线C在变换矩阵M作用下得到的曲线C′的方程为xy=1，求曲线C的方程．
    考点：特征值与特征向量的计算
    专题：矩阵和变换
    分析：本题（1）可以利用矩阵的特征值和特征向量的意义列出相应的方程，解方程得到本题结论；（2）根据矩阵变换下相关点的坐标关系，利用代入法求出曲线的方程，得到本题结论．
    解答： 解：（1）依题意，得
    a1
    3b
    1
    -3
    =
    -1
    3
    ，
    即
    a-3=-1
    3-3b=3
    ，解得
    a=2
    b=0
    ，
    ∴M=
    21
    30
    ；
    （2）设曲线C上一点P（x，y）在矩阵M的作用下得到曲线xy=1上一点P′（x′，y′），
    则
    x′
    y′
    =
    21
    30
    x
    y
    ，即
    x′=2x+y
    y′=3x
    ，
    ∴x′y′=1，
    ∴（2x+y）×（3x）=1，
    整理得曲线C的方程为6x2+3xy=1．
    点评：本题考查了矩阵的特征值和特征向量，本题难度不大，属于基础题．
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    求圆（x-1）2+（y+2）2=4上的一点Q到点P（-
    4
    5
    ，
    2
    5
    ）的最短距离及这个点的坐标．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知圆C1：（x-2cosθ）2+（y-2sinθ）2=1与圆C2：x2+y2=1，在下列说法中：
    ①对于任意的θ，圆C1与圆C2始终相切；
    ②对于任意的θ，圆C1与圆C2始终有四条公切线；
    ③直线l：2（m+3）x+3（m+2）y-（2m+5）=0（m∈R）与圆C2一定相交于两个不同的点；
    ④P，Q分别为圆C1与圆C2上的动点，则|PQ|的最大值为4．
    其中正确命题的序号为
     
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    某房地产开发商在其开发的一个小区前面建了一个弓形景观湖，如图，该弓形所在的圆是以AB为直径的圆，已知AB=300m，CD与AB平行且它们之间的距离为50
    		2
    m，开发商计划从A点出发建一座景观桥（假定建成的景观桥与地面和湖面均平行），为了使小区居民可以充分的欣赏湖景，所以要将湖面上的景观桥PQ的长度设计到最长．
    （1）记∠AOP=2θ，试用θ表示线段PQ；
    （2）求PQ的最大值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知a，b，l表示三条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，有下列四个命题：
    ①若α∩β=a，β∩γ=b，且a∥b，则α∥γ；、
    ②若a，b相交，且都在α，β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β；
    ③若α⊥β，α∩β=a，b?β，a⊥b，则b⊥α；
    ④若a?α，b?α，l⊥a，l⊥b，则l⊥α．
    其中正确命题的序号是
     
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知点F为抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，M（4，t）（t＞0）为抛物线C上的点，且|MF|=5．
    （Ⅰ）求抛物线C的方程和点M的坐标；
    （Ⅱ）过点M引出斜率分别为k1，k2的两直线l1，l2，l1与抛物线C的另一交点为A，l2与抛物线C的另一交点为B，记直线AB的斜率为k3．
    （ⅰ）若k1+k2=0，试求k3的值；
    （ⅱ）证明：
    1
    k1
    +
    1
    k2
    -
    1
    k3
    为定值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知f（x）=ex+2ax（a为常数），曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线x-y-3=0垂直．
    （Ⅰ）求a的值及函数f（x）的单调区间；
    （Ⅱ）证明：当x＞0时，ex＞x2；
    （Ⅲ）设F（x）=f（x）-ex+
    1
    3
    x3+mx2    +1，若F（x）在（1，3）上单调递减，求实数m的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且g（x）≠0，当x＜0时f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），且f（-3）=0，则不等式
    f(x)
    g(x)
    ＜0的解集是
     
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=cos2
    x
    2
    -sin2
    x
    2
    -sinx．
    （1）求f（x）的最小正周期及单调增区间；
    （2）当x0∈（0，
    π
    4
    ）且f（x0）=
    4
    		2
    5
    时，求f（x0+
    π
    4
    ）的值．

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