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已知
π
4
<α<β<
π
2
,且sin(α+β)=
4
5
,cos(α-β)=
12
13

(1)用α+β,α-β表示2α;
(2)求cos2α,sin2α,tan2α的值.
分析:(1)因为α+β与α-β的和等于2α,所以可以利用α+β和α-β相加表示2α;
(2)根据同角三角函数间的基本关系及角度的范围,分别由sin(α+β)和cos(α-β)的值,求出cos(α+β)和sin(α-β)的值,然后利用(1)中找出的角的关系,利用两角和的正弦、余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系即可求出cos2α、sin2α及tan2α的值.
解答:解:(1)2α=(α+β)+(α-β);
(2)由
π
4
<α<β<
π
2
,得到:
π
2
<α+β<π,-
π
4
<α-β<0,
则由sin(α+β)=
4
5
,得到cos(α+β)=-
1-(
4
5
)
2
=-
3
5

由cos(α-β)=
12
13
,得到sin(α-β)=-
1- (
12
13
)
2
=-
5
13

所以sin2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=
4
5
×
12
13
+
3
5
×
5
13
=
63
65

cos2α=cos[(α+β)+(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β)=-
3
5
×
12
13
-
4
5
×(-
5
13
)=-
16
65

tan2α=
sin2α
cos2α
=-
63
16
点评:此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系、两角和的正弦、余弦函数公式化简求值,是一道综合题.学生做题时应注意角度的范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知
π
4
<x<
π
2
,设a=21-sinx,b=2cosx,c=2tanx,则(  )
A、a<b<c
B、b<a<c
C、a<c<b
D、b<c<a

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知
π
4
<α<
4
,0<β<
π
4
,cos(
π
4
+α)=-
3
5
,sin(
4
+β)=
5
13
,求sin(α+β)的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知α∈(
π
4
4
)
,β∈(0,
π
4
)
,且cos(
π
4
)=
3
5
,sin(
5
4
π+β
)=-
12
13
求cos(α+β).

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知
π
4
<α<
3
4
π
0<β<
π
4
,且cos(
π
4
-α)=
3
5
sin(
3
4
π+β)=
5
13
,求sin(α+β)的值.

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