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    已知二次函数的图像经过坐标原点，且满足，设函数,其中为非零常数

    (I)求函数的解析式；

    (II)当 时，判断函数的单调性并且说明理由；

     (III)证明：对任意的正整数,不等式恒成立


    解析:

    （Ⅰ）设，的图象经过坐标原点，所以c=0.

    ∵ ∴

             即：

              ∴a=1,b=0, ；……………………………………４分

    （Ⅱ）函数的定义域为

    ．，

    令，，

    ，

    ∵，∴，在上恒成立，

      即，当时,函数在定义域上单调递减．………９分

    （III）当时，，令 

    则在上恒正，

    ∴在上单调递增，当时，恒有.，

    即当时，有，

    对任意正整数，取得．………………１３分

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