Question

14．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）若PA=AB，求点D到平面PBC的距离；
（3）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．

Answer 1

分析 （1）由已知推导出AC⊥BD，PA⊥BD，由此能证明BD⊥平面PAC．
（2）设所求距离为h，由V_D-PBC=V_P-BDC，利用等体积法能求出点D到平面PBC的距离．
（3）设PA=x．过B作PH垂直于PC，垂足为H，再连接DH，利用余弦定理能求出PA的长．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．
又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD．
∴BD⊥平面PAC．（3分）
解：（2）设所求距离为h，
∵PA=AB=2，∴$PB=\sqrt{P{A^2}+A{B^2}}=2\sqrt{2}$，$PC=\sqrt{P{A^2}+A{C^2}}=4$，
$在△PBC中，PC=4，PB=2\sqrt{2}，BC=2$，
$\begin{array}{l}∴cos∠PBC=\frac{8+4-16}{{2×2\sqrt{2}×2}}=-\frac{{\sqrt{2}}}{4}\end{array}$
∴$\begin{array}{l}sin∠PBC=\frac{{\sqrt{14}}}{4}\end{array}$，${S_{△PBC}}=\frac{1}{2}PB×CB×sin∠PBC=\sqrt{7}$，
∵V_D-PBC=V_P-BDC，$即\frac{1}{3}•{S_{△PBC}}•h=\frac{1}{3}•{S_{△BDC}}•PA$，
$\begin{array}{l}∴h=\frac{{2\sqrt{21}}}{7}\end{array}$，即点D到平面PBC的距离为$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．
（3）设PA=x．过B作PH垂直于PC，垂足为H，再连接DH．PA=$\sqrt{6}$
依题平面PBC与平面PDC垂直，∴∠BHD=90°，由对称性可知BH=DH，
∵BD=2，∴BH=$\sqrt{2}$，∵BC=$\sqrt{2}$，∴∠PCB=45°，
∴PB²=x²+4，PC²=x²+12，
$根据余弦定理cos∠PCB=\frac{{P{C^2}+4-P{B^2}}}{2•2•PC}$，
解得$x=\sqrt{6}$，
∴PA的长为$\sqrt{6}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离、线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等体积法、余弦定理的合理运用．