Question

在平面直角坐标系中，已知A（1，-2），B（4，0），P（a，1），N（a+1，1），若四边形PABN的周长最小，则a=

 

．

Answer 1

考点：两点间的距离公式

专题：直线与圆

分析：根据两点之间的距离公式，列出四边形PABN的周长关于a的表达式，得到x轴上的点（a，0）与（1，3）和（3，1）距离之和最小时，四边形PABN的周长也最小．利用对称思想结合直线方程的求法，可得a=

5

2

值时，四边形PABN的周长最小．

解答： 解：四边形PABN的周长为
C=|PA|+|AB|+|BN|+|NP|=

(a-1)2+(1+2)2

+

(a-3)2+(1-0)2

+

13

+1=

(a-3)2+(0-1)2

+

(a-1)2+(0-3)2

+

13

+1
要求四边形周长的最小值只要求出

(a-3)2+(0-1)2

+

(a-1)2+(0-3)2

的最小值即可．
它表示x轴上的点（a，0）与（1，3）和（3，1）距离之和，只需该距离之和最小即可．可以利用对称思想最小值为E（1，-3）与F（3，1）两点间的距离，
进一步利用E（1，-3）与F（3，1）求出直线EF的方程y=2x-5，
当y=0时解得x=

5

2

即：a=

5

2

时四边形PABN的周长最小．
故答案为：a=

5

2

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点评：本题考查的知识要点：两点间的距离公式，点的对称问题，直线的方程及相关的恒等变形问题．