【题目】已知圆C过点,且与圆外切于点,是x轴上的一个动点.
求圆C的标准方程;
当圆C上存在点Q,使,求实数m的取值范围;
当时,过P作直线PA,PB与圆C分别交于异于点P的点A,B两点,且求证:直线AB恒过定点.
【答案】(1)(2)(3)直线AB恒过定点.
【解析】
1)设出圆的标准方程x2+(y﹣b)2=r2,由已知可得关于r,b的方程组求解得答案;
(2)把圆C上存在点Q,使∠CPQ=30°,转化为直线y=(x﹣m)与圆C有交点,由圆心到直线的距离小于半径求解;
(3)m=1时,P(1,0),设kPA=k,则kPB=,可得直线PA,PB的方程,与圆的方程联立,求得A,B的坐标,写出AB所在直线方程,分别取k=1和﹣1,得到直线方程,联立求得交点坐标,再代回直线方程验证得答案.
设圆C:,
则,解得,,,
故圆C的标准方程为:;
解:当圆C上存在点Q,使,等价于直线与圆C有交点,
圆C到直线的距离小于等于半径1,
即,解得,
故实数m的取值范围是;
证明:时,,设,则,
则直线PA:,PB:,
联立,得,
则,得,.
,
同理可得
则.
直线AB的方程为
当时,直线方程为,当时,直线方程为.
联立,解得,.
把点代入成立,
直线AB恒过定点.
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【题目】随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图7.
(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高;
(2)计算甲班的样本方差;
(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学,求身高为176cm的同学被抽中的概率。
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【题目】考拉兹猜想又名3n+1猜想,是指对于每一个正整数,如果它是奇数,则对它乘3再加1;如果它是偶数,则对它除以2.如此循环,最终都能得到1.阅读如图所示的程序框图,运行相应程序,输出的结果i=( )
A.4
B.5
C.6
D.7
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【题目】已知椭圆 的离心率为 ,且过点 .若点M(x0 , y0)在椭圆C上,则点 称为点M的一个“椭点”.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点,且A,B两点的“椭点”分别为P,Q,以PQ为直径的圆经过坐标原点,试求△AOB的面积.
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【题目】已知公比不等于1的等比数列{an},满足:a3=3,S3=9,其中Sn为数列{an}的前n项和.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=log2 , 若cn= , 求数列{cn}的前n项和Tn .
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【题目】极坐标与直角坐标系xOy有相同的长度单位,以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴.曲线C1的极坐标方程为ρ﹣2cosθ=0,曲线C1的参数方程为(t是参数,m是常数)
(Ⅰ)求C1的直角坐标方程和C2的普通方程;
(Ⅱ)若C2与C1有两个不同的公共点,求m的取值范围.
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【题目】已知函数 ,a∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)有两个零点x1 , x2 , (x1<x2),求证:1<x1<a<x2<a2 .
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