Question

18．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}+a，（x＞2）}\\{x+{a}^{2}，（x≤2）}\end{array}\right.$，若存在x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂）成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-2）∪（1，+∞）
• B． （-∞，-1]∪[2，+∞）
• C． （-∞，-2]∪[1，+∞）
• D． （-∞，-1）∪（2，+∞）

Answer 1

分析 作出函数f（x）的图象，数形结合，得：2+a²＞2²+a，由此能求出实数a的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}+a，（x＞2）}\\{x+{a}^{2}，（x≤2）}\end{array}\right.$，
存在x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂）成立，
∴可作出如右图所示的函数f（x）的图象，
结合图象得：2+a²＞2²+a，
∴a²-a-2＞0，
解得a＜-1或a＞2．
∴实数a的取值范围是（-∞，-1）∪（2，+∞）．
故选：D．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．