Question

已知圆x²＋y²－6mx－2(m－1)y＋10m²－2m－24＝0(m∈R)．
(1)求证：不论m取什么值，圆心在同一直线l上；
(2)与l平行的直线中，哪些与圆相交，相切，相离．

Answer 1

（1）见解析（2）当d<r，即－5－3<b<5－3时，直线与圆相交；当d＝r，即b＝±5－3时，直线与圆相切；当d>r，即b<－5－3或b>5－3时，直线与圆相离．

(1)证明：配方得(x－3m)²＋[y－(m－1)]²＝25.设圆心为(x，y)，则消去m，得x－3y－3＝0.故不论m取什么值，圆心在同一直线l：x－3y－3＝0上．
(2)解：设与l平行的直线为n：x－3y＋b＝0，则圆心到直线l的距离d＝＝，由于圆的半径r＝5，∴当d<r，即－5－3<b<5－3时，直线与圆相交；当d＝r，即b＝±5－3时，直线与圆相切；当d>r，即b<－5－3或b>5－3时，直线与圆相离