Question

1．已知实系数三次函数φ（x）=ax³+bx²+cx+d有三个正零点，且φ（0）＜0．求证：2b³+9a²d-7abc≤0．

Answer 1

分析 设三个正根为x₁，x₂，x₃；从而可得a＞0，b=-a（x₁+x₂+x₃），c=a（x₁x₂+x₃x₂+x₁x₃），d=-ax₁x₂x₃，从而利用分析法证明即可．

解答 证明：设三个正根为x₁，x₂，x₃；
则φ（x）=ax³+bx²+cx+d
=a（x-x₁）（x-x₂）（x-x₃）
=a（x³-（x₁+x₂+x₃）x²+（x₁x₂+x₃x₂+x₁x₃）x-x₁x₂x₃），
∵φ（0）＜0，∴a＞0；
b=-a（x₁+x₂+x₃），c=a（x₁x₂+x₃x₂+x₁x₃），d=-ax₁x₂x₃，
要证2b³+9a²d-7abc≤0，
只要证-2a³（x₁+x₂+x₃）-9a³x₁x₂x₃+7a³（x₁+x₂+x₃）（x₁x₂+x₃x₂+x₁x₃）≤0，
只要证-2（x₁+x₂+x₃）-9x₁x₂x₃+7（x₁+x₂+x₃）（x₁x₂+x₃x₂+x₁x₃）≤0，
只要证-2（x₁+x₂+x₃）+7（x₁+x₂+x₃）（x₁x₂+x₃x₂+x₁x₃）≤9x₁x₂x₃，
只要证2x₁³+2x₂³+2x₃³≥x₁x₂²+x₃x₂²+x₁²x₂+x₃²x₂+x₁²x₃+x₁x₃²，
∵x₁³+x₂³-x₁x₂²-x₁²x₂=（x₁-x₂）²（x₁+x₂）≥0，
∴x₁³+x₂³≥x₁x₂²+x₁²x₂，
同理可得，x₁³+x₃³≥x₁x₃²+x₁²x₃，
x₂³+x₃³≥x₂x₃²+x₂²x₃，
∴2x₁³+2x₂³+2x₃³≥x₁x₂²+x₃x₂²+x₁²x₂+x₃²x₂+x₁²x₃+x₁x₃²，
∴原不等式成立．

点评 本题考查了根与系数的关系应用及分析法的应用．