Question

【题目】已知抛物线C：y=x2 ， 点P（0，2），A、B是抛物线上两个动点，点P到直线AB的距离为1．
（1）若直线AB的倾斜角为 ，求直线AB的方程；
（2）求|AB|的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由直线AB的倾斜角为 ，tan = ，

设直线AB的方程为：y= x+m，

则点P（0，2）到直线AB的距离为

d= =1，

解得m=0或m=4；

∴直线AB的方程为y= x或y= x+4

（2）解：设直线AB的方程为y=kx+m，

则点P到直线AB的距离为d= =1，

即k2+1=（m﹣2）2；

由 ，消去y得x2﹣kx﹣m=0，

由根与系数的关系得x1+x2=k，x1x2=﹣m；

∴|AB|2=（1+k2）[ ﹣4x1x2]=（1+k2）（k2+4m）=（m﹣2）2（m2+3），

设f（m）=（m﹣2）2（m2+3），

则f′（m）=2（m﹣2）（2m2﹣2m+3），

又k2+1=（m﹣2）2≥1，

∴m≤1或m≥3，

∴当m∈（﹣∞，1]时，f′（m）＜0，f（m）是单调减函数；

当m∈[3，+∞）时，f′（m）＞0，f（m）是单调增函数；

∴f（m）min=f（1）=4，

∴|AB|的最小值为2

【解析】（1）由直线AB的倾斜角为 设出直线AB的方程，

根据点P到直线AB的距离求出m的值，从而写出直线方程；（2）设出直线AB的方程，与抛物线方程联立，

利用根与系数的关系和点P到直线AB的距离，

得出k、m的关系，再求|AB|2的最小值即可．