Question

一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为2，求该三角形的斜边长．

Answer 1

分析：如图，设DF长为x，则DE=EF=

2

2

x，作DG⊥BB₁，HG⊥CC₁，EI⊥CC₁，从而用x表示出EG，FI，，FH，从而将问题转化到Rt△DHF中，有DF²=DH²+FH²求解．

解答：解：如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC为正三角形，边长为2，△DEF为等腰直角三角形，DF为斜边，设DF长为x，则DE=EF=

2

2

x，作DG⊥BB₁，HG⊥CC₁，EI⊥CC₁，
则EG=

DE2-DG2

=

x2 2 -4

，FI=

EF2-EI2

=

x2 2 -4

，FH=FI+HI=FI+EG=2

x2 2 -4

，在Rt△DHF中，DF²=DH²+FH²，即x²=4+（2

x2 2 -4

）²，解得x=2

3

．
即该三角形的斜边长为2

3

．

点评：本题主要考查棱柱的结构特征，主要涉及了正棱柱，一是底面是正多边形，二是侧棱与底面垂直，还考查了转化思想，属中档题．