Question

（文）已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n=

1

2

a_n-1+1（n≥2），
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）求证：数列{a_n-2}是等比数列，并求通项a_n．

Answer 1

分析：（1）在a_n=

1

2

a_n-1+1中，令n=1求出a₂，令n=2求出a₃，令n=3求出a₄．
（2）由a_n=

1

2

a_n-1+1（n≥2），两边减去2，得出a_n-2=

1

2

（a_n-1-2），易知数列{a_n-2}是等比数列，通过数列{a_n-2}的通项求出a_n．

解答：解：（1）a₁=1，a_n=

1

2

a_n-1+1，
所以a₂=

1

2

a₁+1=

3

2

，
a₃=

1

2

a₂+1=

7

4

a₄=

1

2

a₃+1=

15

8

（2）由a_n=

1

2

a_n-1+1（n≥2），两边减去2，得出a_n-2=

1

2

（a_n-1-2），
数列{a_n-2}是等比数列，且公比

1

2

，首项为a₁-2=-1，所以数列{a_n-2}的通项公式为
a_n-2=（-1）•(

1

2

)n-1，所以a_n=（-1）•(

1

2

)n-1+2

点评：本题考查数列递推公式和通项公式，考查转化计算、推理论证能力．